Die folgende Summenformel stellt das ‚Inverse Riemann-Spektrum‘ der nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion dar. Sie zeigt beeindruckende Peaks bei den Positionen der Primzahlen und ihren Potenzen:
[latex]f(x)=-\sum _{n=1}^{\text{nmax}} \cos \left(\log (x) \Im\left(\rho _n\right)\right)[/latex]
Hier geht die Summe über die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion und nimmt nmax Nullstellen. Je mehr Nullstellen für die Summation verwendet werden, desto stärker erscheinen die Peaks an Positionen von Primzahlen und Primzahlen-Potenzen. Die Höhe der Peaks, die zu einer Primzahl-Potenz n gehören, scheinen eine Länge von [latex]\frac{1}{n}[/latex] der Länge des ursprünglichen Primzahl Peaks zu haben.
Wenn n gegen [latex]\infty[/latex] geht, ähnelt die Funktion einer Art Delta-Funktion (bekannt aus der Physik). Wenn es einem genialen Mathematiker gelingen sollte, f(x) zu normalisieren und das Integral über diese Funktion zu berechnen, könnte man eine Formel für [latex]\pi (x)[/latex] erhalten (streng genommen für die Funktion J(x), aber [latex]\pi (x)[/latex] kann leicht von J(x) unter Verwendung der Moebius-Inversionsformel abgeleitet werden).
Hier ist ein Beispiel mit 500 Nullstellen mit einem Plot von f(x) im Bereich 2- 50. Zum Hinein-Zoomen bite auf die Grafik klicken:
Hier ist ein Beispiel mit 1000 Nullstellen mit einem Plot von f(x) im Bereich 2- 50. Zum Hinein-Zoomen bite auf die Grafik klicken.
Hier ist ein Beispiel mit 5000 Nullstellen mit einem Plot von f(x) im Bereich 2- 50. Zum Hinein-Zoomen bite auf die Grafik klicken.
