Gibt es noch andere Rechenarten außer Addition, Multiplikation und Potenzierung?

Die folgenden Ideen stammen von dem Physiker Adil Bulus und beschreiben einige Körper-Konstruktionen, die einen ‘nahtlosen’ Übergang zwischen verschiedenen Rechenarten ermöglichen.

Die Originalarbeiten von Adil Bulus können auf der Internetseite https://www.mathematische-notizen.de  nachgelesen werden.

Die hier vorgestellten Methoden ermöglichen unter anderem eine Parametrisierung zwischen:

– Jacobi-Addition und Addition
– Addition und Multiplikation
– Multiplikation und logarithmischer Potenzierung

Eine ausführlichere Beschreibung der hier skizzierten Ideen findet sich hier zum Nachlesen oder zum Download.

Hinweis: Tetration (der nächste Hyper-Operator nach der Multiplikation) läßt sich mit dieser Methode nicht herleiten.

Bei beiden Methoden erfüllen die “Additions”- und “Multiplikations”-Operatoren alle Körper-Axiome (auch das Distributivgesetz).

Im Folgenden sei n ganzzahlig positiv und ungerade, a und b beliebige komplexe Zahlen.

Methode 1:

Addition (mit Hilfe des Übergangsparameters n ergibt sich ein kontinuierlicher Übergang zwischen Addition und Multiplikation)
\text{(a$\oplus $b):= }\left(a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}-1\right)^n
Neutrales Element: 1
Inverses Element: \left(2-a^{1/n}\right)^n
\left(\underset{n\to \infty}{\text{lim}}a\oplus b\right)=a b (normale Multiplikation)
\left(\underset{n\to 1}{\text{lim}}  a\oplus b\right)=a+b-1 (normale Adddition)

Multiplikation (mit Hilfe des Übergangsparameters n ergibt sich ein kontinuierlicher Übergang zwischen logarithischer Potenzierung und “Quasi-Multiplikation”):
\text{(a$\otimes $b):= }\left(\left(\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right) \left(b^{\frac{1}{n}}-1\right)\right) n+1\right)^n
Neutrales Element: \left(\frac{1}{n}+1\right)^n
Inverses Element: (1+1/((-1+a^(1/n)) n^2))^n
\left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}a\otimes b\right)=a^{\log (b)} (logarithmische Potenzierung)
\left(\underset{n\to 1}{\text{lim}}  a\otimes b\right)=(a-1) (b-1)+1 (Multiplikation)

 

Methode 2:

Addition:
\text{(a$\oplus $b):= }\left(\left(\left(\frac{a}{n}+1\right)^n+\left(\frac{b}{n}+1\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}-1\right) n
Neutrales Element: -n
Inverses Element: n \left(\left(-\left(\frac{a+n}{n}\right)^n\right)^{1/n}-1\right)
\left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}a\oplus b\right)=\log \left(e^a+e^b\right) (Jacobi-Addition)
\left(\underset{n\to 1}{\text{lim}}  a\oplus b\right)=a+b+1 (normale Addition)

Multiplikation:
\text{(a$\otimes $b):= }\left(\left(\left(\frac{a}{n}+1\right)^n \left(\frac{b}{n}+1\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}-1\right) n
Neutrales Element: 0
Inverses Element: n (-1+(((a+n)/n)^-n)^(1/n))
\left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}a\otimes b\right)=\log \left(e^{a+b}\right)=a+b (normale Addition)
\underset{n\to 1}{\text{lim}}  a\otimes b=a b+a+b (normale Addition und Multiplikation)

Verallgemeinerung:

Die folgende Methode erlaubt eine sehr allgemeine Definition von Rechenoperationen. Das Prinzip ist eine Verschachtelung und Kombination von Exponential- und Logarithmus-Funktionen. Formuliert mit der Mathematica-Programmiersprache läßt sich jeweils eine ganze Matrix von Rechenoperationen nur mit einer einzigen Programmzeile erzeugen:

Table[Nest[Exp,Nest[Log,a,i]+Nest[Log,b,j],Max[i,j]],{i,0,dim},{j,0,dim}]//MatrixForm
Table[Nest[Log,Nest[Exp,a,i+1]^Nest[Exp,b,j],Max[i+1,j]],{i,0,dim},{j,0,dim}]//MatrixForm

\left(\begin{array}{cccc}a+b & e^a b & b^{e^a} & e^{\log ^{e^a}(b)} \\a e^b & a b & b^a & e^{\log ^a(b)} \\a^{e^b} & a^b & e^{\log (a) \log (b)} & e^{e^{\log (a) \log (\log (b))}} \\e^{\log ^{e^b}(a)} & e^{\log ^b(a)} & e^{e^{\log (\log (a)) \log (b)}} & e^{e^{\log (\log (a)) \log (\log (b))}} \\\end{array}\right) sowie

\left(\begin{array}{cccc}\log \left(e^a\right)^b & \log \left(e^a\right)^{e^b} & \log \left(\log \left(e^a\right)^{e^{e^b}}\right) & \log \left(\log \left(\log \left(e^a\right)^{e^{e^{e^b}}}\right)\right) \\\log \left(\log \left(e^{e^a}\right)^b\right) & \log \left(\log \left(e^{e^a}\right)^{e^b}\right) & \log \left(\log \left(e^{e^a}\right)^{e^{e^b}}\right) & \log \left(\log \left(\log \left(e^{e^a}\right)^{e^{e^{e^b}}}\right)\right) \\\log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^a}}\right)^b\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^a}}\right)^{e^b}\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^a}}\right)^{e^{e^b}}\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^a}}\right)^{e^{e^{e^b}}}\right)\right) \\\log \left(\log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^{e^a}}}\right)^b\right)\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^{e^a}}}\right)^{e^b}\right)\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^{e^a}}}\right)^{e^{e^b}}\right)\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^{e^a}}}\right)^{e^{e^{e^b}}}\right)\right)\right) \\\end{array}\right)

Nach Vereinfachung mit der Mathematica-Funktion ‘FullSimplify’:

\left(\begin{array}{cccc}\textcolor{red}{a+b} & e^a b & b^{e^a} & e^{\log ^{e^a}(b)} \\a e^b & \textcolor{red}{a b} & \textcolor{blue}{b^a} & e^{\log ^a(b)} \\a^{e^b} & \textcolor{blue}{a^b} & \textcolor{red}{a^{\log (b)}} & e^{a^{\log (\log (b))}} \\e^{\log ^{e^b}(a)} & e^{\log ^b(a)} & e^{b^{\log (\log (a))}} & \textcolor{red}{e^{\log ^{\log (\log (b))}(a)}} \\\end{array}\right) sowie

\left(\begin{array}{cccc}\textcolor{red}{ a b} & a e^b & \log (a)+e^b & \log \left(\log (a)+e^{e^b}\right) \\ a+\log (b) & \textcolor{red}{a+b} & a+e^b & \log \left(a+e^{e^b}\right) \\ \log \left(e^a+\log (b)\right) & \log \left(e^a+b\right) & \textcolor{red}{\log \left(e^a+e^b\right)} & \log \left(e^a+e^{e^b}\right) \\ \log \left(\log \left(e^{e^a}+\log (b)\right)\right) & \log \left(\log \left(e^{e^a}+b\right)\right) & \log \left(\log \left(e^{e^a}+e^b\right)\right) & \textcolor{red}{\log \left(\log \left(e^{e^a}+e^{e^b}\right)\right)} \\\end{array}\right)

 

Hinweis: In der verschachtelten Kombination von Logarithmus- und Exponentilafunktonen steht jeweils ein Operator “+”, “*” oder “^”. Ein Vertauschen dieser Operatoren liefert im Prinzip die gleichen Ergebnisse;  allerding sind die entstehenden Matrix-Terme entlang der Diagonale entweder in Richtung ‘höherer Rechenarten’ oder niedriger Rechenarten verschoben.

Die in der ersten Matrix vorhandenen Terme gehen mit höheren Indizes in Richtung “höhere Rechenart”, die Terme der zweiten Matrix gehen mit höheren Indizes in Richtung “niedrigere Rechenart”. Auf den Diagonalen finden wir die uns bekannten Rechenarten, für die Assoziativgesetz und Kommutativgesetz gelten (in roter Farbe). Die Rechenart “Potenzierung” findet sich in der ersten Matrix abseits der Diagonale (in blauer Farbe). Dies spiegelt sich auch darin wieder, daß Assoziativität und Kommutativitat für diese Rechenart nicht vorhanden sind. Zwei Terme, die sich auf der Diagonale befinden und benachbart sind, bilden jeweils einen Körper (bez. der komplexen Zahlen), für den zusätzlich das Distributivgesetz gilt.

Beispiele für einen Körper sind die Paare:

{ a+b,a b}\\{\log \left(e^a+e^b\right)},a+b\\{a b,a^{\log (b)}}