3D-Animationen

Darstellung der jeweiligen Operator-Funktion zweier Variablen x und y (da der Funktionswert für negative x und y komplex werden kann, ist der Betrag des komplexen Funktionswertes geplottet worden).

Methode1, Addition:

\text{(a$\oplus $b):= }\left(a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}-1\right)^n
Neutrales Element: 1
Inverses Element: \left(2-a^{1/n}\right)^n
\left(\underset{n\to \infty}{\text{lim}}a\oplus b\right)=a b (normale Multiplikation)
\left(\underset{n\to 1}{\text{lim}}a\oplus b\right)=a+b-1 (normale Addition)

n=10, Ansicht wechselt:

n variiert von 1 bis 20, Ansicht wechselt:

 

n variiert von 1 bis 20, Ansicht fest:

 

Methode 1, Multiplikation:

\text{(a$\otimes $b):= }\left(\left(\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right) \left(b^{\frac{1}{n}}-1\right)\right) n+1\right)^n
Neutrales Element: \left(\frac{1}{n}+1\right)^n
Inverses Element: (1+1/((-1+a^(1/n)) n^2))^n
\left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}a\otimes b\right)=a^{\log (b)} (logarithmische Potenzierung)
\left(\underset{n\to 1}{\text{lim}}a\otimes b\right)=(a-1) (b-1)+1 (Multiplikation)

n variiert von 0 bis 10, Ansicht fest:

 

n variiert von 0 bis 10, Ansicht wechselt:

 

n=3, Ansicht wechselt:

 

n=5, Ansicht wechselt:

 

Methode 2, Addition:

\text{(a$\oplus $b):= }\left(\left(\left(\frac{a}{n}+1\right)^n+\left(\frac{b}{n}+1\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}-1\right) n
Neutrales Element: -n
Inverses Element: n \left(\left(-\left(\frac{a+n}{n}\right)^n\right)^{1/n}-1\right)
\left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}a\oplus b\right)=\log \left(e^a+e^b\right) (Jacobi-Addition)
\left(\underset{n\to 1}{\text{lim}}a\oplus b\right)=a+b+1 (normale Addition)

 

n=5, Ansicht wechselt:

 

n=13, Ansicht wechselt:

 

n=2, Ansicht wechselt:

 

n=3, Ansicht wechselt:

 

Methode 2, Multiplikation:

\text{(a$\otimes $b):= }\left(\left(\left(\frac{a}{n}+1\right)^n \left(\frac{b}{n}+1\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}-1\right) n
Neutrales Element: 0
Inverses Element: n (-1+(((a+n)/n)^-n)^(1/n))
\left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}a\otimes b\right)=\log \left(e^{a+b}\right)=a+b (normale Addition)
\underset{n\to 1}{\text{lim}}a\otimes b=a b+a+b (normale Addition und Multiplikation)

n=3, Ansicht wechselt:

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