Corps commutatif et arithmétique avancée

Existe-t-il d’autres types de calculs en plus de l’addition, de la multiplication et de l’exponentiation?

Les idées suivantes viennent du physicien Adil Bulus et décrivent certaines constructions corporelles qui permettent une transition «transparente» entre différents types de calculs.

Les œuvres originales d’Adil Bulus se trouvent sur le site Web https://www.mathematische-notizen.de

Les méthodes présentées ici permettent, entre autres, le paramétrage entre:

– addition et addition Jacobi
– addition et multiplication
– Multiplication et exponentiation logarithmique

Une description plus détaillée des idées présentées ici peut être lue ou téléchargée ici.

 

Remarque: la tétration (le prochain hyper opérateur après la multiplication) ne peut pas être dérivée avec cette méthode.

Dans les deux méthodes, les opérateurs «addition» et «multiplication» satisfont à tous les axiomes corporels (y compris la loi distributive).

Dans ce qui suit, soit n un entier positif et impair, a et b tous les nombres complexes.

méthode 1:

Addition (l’utilisation du paramètre de transition n entraîne une transition continue entre l’addition et la multiplication)
\text{(a$\oplus $b):= }\left(a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}-1\right)^n
Élément neutre: 1
Élément inverse: \left(2-a^{1/n}\right)^n
\left(\underset{n\to \infty}{\text{lim}}a\oplus b\right)=a b (multiplication normale)
\left(\underset{n\to 1}{\text{lim}} a\oplus b\right)=a+b-1 (addition normale)

Multiplication (l’utilisation du paramètre de transition n entraîne une transition continue entre l’exponentiation logarithmique et la “quasi-multiplication”):
\text{(a$\otimes $b):= }\left(\left(\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right) \left(b^{\frac{1}{n}}-1\right)\right) n+1\right)^n
Élément neutre: \left(\frac{1}{n}+1\right)^n
Élément inverse: (1+1/((-1+a^(1/n)) n^2))^n
\left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}a\otimes b\right)=a^{\log (b)} (exponentiation logarithmique)
\left(\underset{n\to 1}{\text{lim}} a\otimes b\right)=(a-1) (b-1)+1 (multiplication)

 

méthode 2:

Addition:
\text{(a$\oplus $b):= }\left(\left(\left(\frac{a}{n}+1\right)^n+\left(\frac{b}{n}+1\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}-1\right) n
Élément neutre: -n
Élément inverse: n \left(\left(-\left(\frac{a+n}{n}\right)^n\right)^{1/n}-1\right)
\left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}a\oplus b\right)=\log \left(e^a+e^b\right) (addition ‘Jacobi’)
\left(\underset{n\to 1}{\text{lim}} a\oplus b\right)=a+b+1 (addition normale)

Multiplikation:
\text{(a$\otimes $b):= }\left(\left(\left(\frac{a}{n}+1\right)^n \left(\frac{b}{n}+1\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}-1\right) n
Élément neutre: 0
Élément inverse: n (-1+(((a+n)/n)^-n)^(1/n))
\left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}a\otimes b\right)=\log \left(e^{a+b}\right)=a+b (addition normale)
\underset{n\to 1}{\text{lim}} a\otimes b=a b+a+b (addition et multiplikation normalle)

Généralisation:

La méthode suivante permet une définition très générale des opérations arithmétiques. Le principe est une imbrication et une combinaison de fonctions exponentielles et logarithmiques. Formulée avec le langage de programmation Mathematica, une matrice entière d’opérations arithmétiques ne peut être générée qu’avec une seule ligne de programme:
Table[Nest[Exp,Nest[Log,a,i]+Nest[Log,b,j],Max[i,j]],{i,0,dim},{j,0,dim}]//MatrixForm
Table[Nest[Log,Nest[Exp,a,i+1]^Nest[Exp,b,j],Max[i+1,j]],{i,0,dim},{j,0,dim}]//MatrixForm

\left(\begin{array}{cccc}a+b & e^a b & b^{e^a} & e^{\log ^{e^a}(b)} \\a e^b & a b & b^a & e^{\log ^a(b)} \\a^{e^b} & a^b & e^{\log (a) \log (b)} & e^{e^{\log (a) \log (\log (b))}} \\e^{\log ^{e^b}(a)} & e^{\log ^b(a)} & e^{e^{\log (\log (a)) \log (b)}} & e^{e^{\log (\log (a)) \log (\log (b))}} \\\end{array}\right) tel que

\left(\begin{array}{cccc}\log \left(e^a\right)^b & \log \left(e^a\right)^{e^b} & \log \left(\log \left(e^a\right)^{e^{e^b}}\right) & \log \left(\log \left(\log \left(e^a\right)^{e^{e^{e^b}}}\right)\right) \\\log \left(\log \left(e^{e^a}\right)^b\right) & \log \left(\log \left(e^{e^a}\right)^{e^b}\right) & \log \left(\log \left(e^{e^a}\right)^{e^{e^b}}\right) & \log \left(\log \left(\log \left(e^{e^a}\right)^{e^{e^{e^b}}}\right)\right) \\\log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^a}}\right)^b\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^a}}\right)^{e^b}\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^a}}\right)^{e^{e^b}}\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^a}}\right)^{e^{e^{e^b}}}\right)\right) \\\log \left(\log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^{e^a}}}\right)^b\right)\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^{e^a}}}\right)^{e^b}\right)\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^{e^a}}}\right)^{e^{e^b}}\right)\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^{e^a}}}\right)^{e^{e^{e^b}}}\right)\right)\right) \\\end{array}\right)

Après simplification avec la fonction Mathematica ‘FullSimplify’:

\left(\begin{array}{cccc}\textcolor{red}{a+b} & e^a b & b^{e^a} & e^{\log ^{e^a}(b)} \\a e^b & \textcolor{red}{a b} & \textcolor{blue}{b^a} & e^{\log ^a(b)} \\a^{e^b} & \textcolor{blue}{a^b} & \textcolor{red}{a^{\log (b)}} & e^{a^{\log (\log (b))}} \\e^{\log ^{e^b}(a)} & e^{\log ^b(a)} & e^{b^{\log (\log (a))}} & \textcolor{red}{e^{\log ^{\log (\log (b))}(a)}} \\\end{array}\right) tel que

\left(\begin{array}{cccc}\textcolor{red}{ a b} & a e^b & \log (a)+e^b & \log \left(\log (a)+e^{e^b}\right) \\ a+\log (b) & \textcolor{red}{a+b} & a+e^b & \log \left(a+e^{e^b}\right) \\ \log \left(e^a+\log (b)\right) & \log \left(e^a+b\right) & \textcolor{red}{\log \left(e^a+e^b\right)} & \log \left(e^a+e^{e^b}\right) \\ \log \left(\log \left(e^{e^a}+\log (b)\right)\right) & \log \left(\log \left(e^{e^a}+b\right)\right) & \log \left(\log \left(e^{e^a}+e^b\right)\right) & \textcolor{red}{\log \left(\log \left(e^{e^a}+e^{e^b}\right)\right)} \\\end{array}\right)

 

Remarque: il existe un opérateur “+”, “*” ou “^” dans la combinaison imbriquée de tons de fonction logarithmique et exponentielle. En principe, l’échange de ces opérateurs donne les mêmes résultats; cependant, les termes de la matrice résultants le long de la diagonale sont soit décalés dans le sens des «types de calcul arithmétique supérieurs» ou des types de calcul arithmétique inférieurs.

Les termes de la première matrice vont dans le sens d’un «calcul plus élevé» avec des indices plus élevés, les termes de la seconde matrice vont dans le sens d’un «calcul inférieur» avec des indices plus élevés. Sur les diagonales, nous trouvons les types de calculs que nous connaissons, auxquels s’appliquent la loi associative et la loi commutative (en rouge). Le type de calcul «exponentiation» se trouve dans la première matrice à l’exception de la diagonale (en bleu). Cela se reflète également dans le fait que l’associativité et la commutativité ne sont pas disponibles pour ce type de calcul. Deux termes en diagonale et adjacents forment chacun un corps commutatif (en termes de nombres complexes), pour lequel la loi distributive s’applique également.

Des exemples de corps sont les paires:

{ a+b,a b}\\{\log \left(e^a+e^b\right)},a+b\\{a b,a^{\log (b)}}
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