Более подробное описание идей, изложенных здесь, можно прочитать или скачать здесь.

Примечание: Тетрация (следующий гипер оператор после умножения) не может быть получена с помощью этого метода.

В обоих методах операторы “сложения” и “умножения” выполняют все аксиомы поля (включая закон распределения).

Далее, пусть n-положительное и нечетное целое число; a и b могут быть любыми комплексными числами.

Метод 1:

\text{(a$\oplus $b):= }\left(a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}-1\right)^n
нейтральный элемент: 1
обратный элемент: \left(2-a^{1/n}\right)^n
\left(\underset{n\to \infty}{\text{lim}}a\oplus b\right)=a b (нормальное умножение)
\left(\underset{n\to 1}{\text{lim}} a\oplus b\right)=a+b-1 (нормальное сложение)

\text{(a$\otimes $b):= }\left(\left(\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right) \left(b^{\frac{1}{n}}-1\right)\right) n+1\right)^n
нейтральный элемент: \left(\frac{1}{n}+1\right)^n
обратный элементt: (1+1/((-1+a^(1/n)) n^2))^n
\left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}a\otimes b\right)=a^{\log (b)} (логарифмическое возведение в степень)
\left(\underset{n\to 1}{\text{lim}} a\otimes b\right)=(a-1) (b-1)+1 (умножение)

 

Метод 2:

Addition:
\text{(a$\oplus $b):= }\left(\left(\left(\frac{a}{n}+1\right)^n+\left(\frac{b}{n}+1\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}-1\right) n
нейтральный элементt: -n
обратный элементt: n \left(\left(-\left(\frac{a+n}{n}\right)^n\right)^{1/n}-1\right)
\left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}a\oplus b\right)=\log \left(e^a+e^b\right) (Якоби-сложение)
\left(\underset{n\to 1}{\text{lim}} a\oplus b\right)=a+b+1 (нормальное сложение)

Multiplication:
\text{(a$\otimes $b):= }\left(\left(\left(\frac{a}{n}+1\right)^n \left(\frac{b}{n}+1\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}-1\right) n
нейтральный элемент: 0
обратный элемент: n (-1+(((a+n)/n)^-n)^(1/n))
\left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}a\otimes b\right)=\log \left(e^{a+b}\right)=a+b (нормальное сложение)
\underset{n\to 1}{\text{lim}} a\otimes b=a b+a+b (нормальное сложение, умножение)

Обобщение:

Следующий метод позволяет получить очень общее определение арифметических операторов. Принцип заключается в вложении и сочетании экспоненциальных и логарифмических функций с использованием “оператора вложенности”, который может быть”+”, ” * “или”^”. Сформулированная на языке программирования Mathematica, целая матрица арифметических операторов может быть сгенерирована одной строкой программного кода:

Table[Nest[Exp,Nest[Log,a,i]+Nest[Log,b,j],Max[i,j]],{i,0,dim},{j,0,dim}]//MatrixForm
Table[Nest[Log,Nest[Exp,a,i+1]^Nest[Exp,b,j],Max[i+1,j]],{i,0,dim},{j,0,dim}]//MatrixForm

\left(\begin{array}{cccc}a+b & e^a b & b^{e^a} & e^{\log ^{e^a}(b)} \\a e^b & a b & b^a & e^{\log ^a(b)} \\a^{e^b} & a^b & e^{\log (a) \log (b)} & e^{e^{\log (a) \log (\log (b))}} \\e^{\log ^{e^b}(a)} & e^{\log ^b(a)} & e^{e^{\log (\log (a)) \log (b)}} & e^{e^{\log (\log (a)) \log (\log (b))}} \\\end{array}\right) такие как

\left(\begin{array}{cccc}\log \left(e^a\right)^b & \log \left(e^a\right)^{e^b} & \log \left(\log \left(e^a\right)^{e^{e^b}}\right) & \log \left(\log \left(\log \left(e^a\right)^{e^{e^{e^b}}}\right)\right) \\\log \left(\log \left(e^{e^a}\right)^b\right) & \log \left(\log \left(e^{e^a}\right)^{e^b}\right) & \log \left(\log \left(e^{e^a}\right)^{e^{e^b}}\right) & \log \left(\log \left(\log \left(e^{e^a}\right)^{e^{e^{e^b}}}\right)\right) \\\log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^a}}\right)^b\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^a}}\right)^{e^b}\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^a}}\right)^{e^{e^b}}\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^a}}\right)^{e^{e^{e^b}}}\right)\right) \\\log \left(\log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^{e^a}}}\right)^b\right)\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^{e^a}}}\right)^{e^b}\right)\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^{e^a}}}\right)^{e^{e^b}}\right)\right)\right) & \log \left(\log \left(\log \left(\log \left(e^{e^{e^{e^a}}}\right)^{e^{e^{e^b}}}\right)\right)\right) \\\end{array}\right)

После упрощения с помощью функции Mathematica ‘FullSimplify’:

\left(\begin{array}{cccc}\textcolor{red}{a+b} & e^a b & b^{e^a} & e^{\log ^{e^a}(b)} \\a e^b & \textcolor{red}{a b} & \textcolor{blue}{b^a} & e^{\log ^a(b)} \\a^{e^b} & \textcolor{blue}{a^b} & \textcolor{red}{a^{\log (b)}} & e^{a^{\log (\log (b))}} \\e^{\log ^{e^b}(a)} & e^{\log ^b(a)} & e^{b^{\log (\log (a))}} & \textcolor{red}{e^{\log ^{\log (\log (b))}(a)}} \\\end{array}\right) такие как

\left(\begin{array}{cccc}\textcolor{red}{ a b} & a e^b & \log (a)+e^b & \log \left(\log (a)+e^{e^b}\right) \\ a+\log (b) & \textcolor{red}{a+b} & a+e^b & \log \left(a+e^{e^b}\right) \\ \log \left(e^a+\log (b)\right) & \log \left(e^a+b\right) & \textcolor{red}{\log \left(e^a+e^b\right)} & \log \left(e^a+e^{e^b}\right) \\ \log \left(\log \left(e^{e^a}+\log (b)\right)\right) & \log \left(\log \left(e^{e^a}+b\right)\right) & \log \left(\log \left(e^{e^a}+e^b\right)\right) & \textcolor{red}{\log \left(\log \left(e^{e^a}+e^{e^b}\right)\right)} \\\end{array}\right) { a+b,a b}\\{\log \left(e^a+e^b\right)},a+b\\{a b,a^{\log (b)}}