méthode 1, addition:

\text{(a$\oplus $b):= }\left(a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}-1\right)^n
Élément neutre: 1
Élément inverse: \left(2-a^{1/n}\right)^n
\left(\underset{n\to \infty}{\text{lim}}a\oplus b\right)=a b (multiplication normale)
\left(\underset{n\to 1}{\text{lim}}a\oplus b\right)=a+b-1 (addition normale)

n=10, vue change:

n varie de 1 à 20, vue change:

 

n varie de 1 à 20, vue ferme:

 

méthode 1, multiplication:

\text{(a$\otimes $b):= }\left(\left(\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right) \left(b^{\frac{1}{n}}-1\right)\right) n+1\right)^n
Élément neutre: \left(\frac{1}{n}+1\right)^n
Élément inverse: (1+1/((-1+a^(1/n)) n^2))^n
\left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}a\otimes b\right)=a^{\log (b)} (exponentiation logarithmique)
\left(\underset{n\to 1}{\text{lim}}a\otimes b\right)=(a-1) (b-1)+1 (multiplication)

n varie de 0 à 10, vue ferme:

 

n varie de 0 à 10, vue change:

 

n=3,vue change:

 

n=5, vue change:

 

méthode 2, addition:

\text{(a$\oplus $b):= }\left(\left(\left(\frac{a}{n}+1\right)^n+\left(\frac{b}{n}+1\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}-1\right) n
Élément neutre: -n
Élément inverse: n \left(\left(-\left(\frac{a+n}{n}\right)^n\right)^{1/n}-1\right)
\left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}a\oplus b\right)=\log \left(e^a+e^b\right) (Jacobi-addition)
\left(\underset{n\to 1}{\text{lim}}a\oplus b\right)=a+b+1 (addition normale)

 

n=5, vue change:

 

n=13, vue change:

 

n=2, vue change:

 

n=3, vue change:

 

méthode 2, multiplication:

\text{(a$\otimes $b):= }\left(\left(\left(\frac{a}{n}+1\right)^n \left(\frac{b}{n}+1\right)^n\right)^{\frac{1}{n}}-1\right) n
Élément neutre: 0
Élément inverse: n (-1+(((a+n)/n)^-n)^(1/n))
\left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}a\otimes b\right)=\log \left(e^{a+b}\right)=a+b (addition normale)
\underset{n\to 1}{\text{lim}}a\otimes b=a b+a+b (addition et multiplication normales)

n=3, vue change:

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